Зразки розв'язування систем рівнянь

Основні методи розв'язування систем рівнянь:

1) Метод підстановки. Спочатку за допомогою якого-небудь рівняння системи виражають одну змінну через іншу. Отриманий вираз підставляють в інше рівняння системи, в результаті чого приходять до рівняння з одною змінною, потім розв’язують це рівняння і знаходять відповідне значення іншої змінної.

2) Метод алгебраїчного додавання. При розв’язуванні системи цим методом переходять від даної системи до рівносильної їй системи, в якій одне з рівнянь містить лише одну змінну. При цьому звичайно множать одне або обидва рівняння на числові множники таким чином, щоб коефіцієнти при х або у були однаковими, але з протилежними знаками.

3) Метод введення нових змінних. Цей метод розв’язування систем розглянемо на прикладі 20.

Розв’язувати симетричну систему можна, наприклад, за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні симетричні многочлени.

Однорідні системи розв’язуються за допомогою застосування методів алгебраїчного додавання і введення нових змінних.

4) Графічний метод. Нехай, наприклад, потрібно розв’язати систему  обидва рівняння якої є рівняннями другого степеня. Графіком рівняння  є коло, а графіком рівняння  – парабола. Ці графіки мають три спільні точки: , , . Легко перевірити, що координати кожної з цих точок є розв’язком як першого, так і другого рівнянь системи. Тобто, система має 3 розв’язки. Отже, щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків.

Але цей спосіб не є основним способом розв’язування рівнянь, тому що він не завжди дає точні результати.

Приклади систем рівнянь та їх розв’язування:

Приклад 25. Розв’язати систему рівнянь 

Розв’язання

1-й спосіб розв’язування:

Розв’яжемо дану систему рівнянь методом підстановки, для цього з другого рівняння системи визначимо у і підставимо його у перше рівняння:

Розв’яжемо перше рівняння отриманої системи: 

Перенесемо  у ліву частину і зведемо вираз до спільного знаменника:

За умови, що знаменник  маємо:

, тоді, розкривши дужки,

 .

Зведемо подібні: 

За теоремою Вієта: 

Отже,  або 

2-й спосіб розв’язування:

У першому рівнянні системи  зробимо заміну , тоді

. Одержуємо рівняння 

    Повернемось до заміни: 

Враховуючи друге рівняння початкової системи, отримаємо сукупність двох систем:

      

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

Приклад 26. Розв’язати систему рівнянь 

Розв’язання

Розв’яжемо дану систему методом алгебраїчного додавання, для цього перемножимо рівняння системи і одержимо:

                                        (1)

Друге рівняння отриманої системи шляхом нескладних перетворень зводиться до рівняння  – наслідку другого рівняння системи (1). Тоді система                                               (2) буде наслідком системи (1).

Віднімемо тепер перше рівняння системи (2) від другого. Отримаємо систему  або                                     (3)

Система (3) – наслідок системи (2).

Перемножимо рівняння системи (3) і отримаємо систему

                                                  (4)

яка буде наслідком системи (3). З другого рівняння системи (4) знаходимо , а з першого рівняння, відповідно, 

Таким чином, система (4) має такі розв'язки:

 або 

Відповідь: (4; 2), (-4; -2).

Приклад 27. Розв'язати систему рівнянь 

Розв'язання

Розв’яжемо дану систему методом заміни змінної:

Позначимо  .

Зробивши заміну, дістанемо нову систему:

 або 

  ;   .

Повернемось до попередніх змінних:

  

 

Відповідь: (5; 3).
Приклад 28. Задача на знаходження числа

Знайти двоцифрове число, яке при діленні на добуток його цифр дає частку , а різниця між ним та числом з переставленими цифрами дорівнює 18.

Розв’язання

     Позначимо через x та y першу і другу цифри, тоді невідоме число матиме вигляд , а число з переставленими цифрами . Запишемо систему рівнянь  звідки знаходимо:   Отже,  – шукане число.

Відповідь: 64.