Зразки розв'язування рівнянь

Рівняння 3x – 4 = 6 + 3x не має коренів, оскільки при перенесенні невідомих в одну частину, а відомих в іншу – отримуємо неправильну числову рівність:

Рівняння  має три корені
 , , .  – множина коренів рівняння.

Лінійні рівняння – це рівняння виду:

,                         (1)

де а і b – дійсні числа.

Рівняння (1) має один корінь, якщо : , звідки .

У рівнянні (1) при  і  х – будь-яке число.
Наприклад,   .

У випадку, коли , , рівняння розв’язків немає.
Наприклад,   .

Розглянемо лінійні рівняння або ті, що зводяться до лінійних.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

    .

Відповідь: .

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Розкриємо дужки і зведемо подібні члени:
       .

Відповідь: .

Приклад 5. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

    .
Оскільки отримана рівність не є правильною, тому дане рівняння розв’язків немає.

Відповідь: .

Приклад 6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

       . Отримана рівність є правильною, тому рівняння має безліч коренів.

Відповідь: .

Приклад 7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Перенесемо все в одну частину і зведемо до спільного знаменника:

   

     .

Відповідь: .

Приклад 8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

. Часто учні, розв’язуючи такі рівняння, знаходять лише один розв’язок рівняння .

Приклад 9. Розв’язати рівняння 

Розв’язання

Відповідь: 3.

Приклад 10. Розв’язати рівняння 

Розв’язання

, а це неможливо, тому рівняння розв’язків не має.

Відповідь:.

Приклад 11. Розв’язати рівняння 

Розв’язання

Відповідь: 0.

Приклад 12. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Поклавши , дістаємо . За теоремо Вієта 

     Повернемось до заміни: 

Відповідь: {±2; ±3}.

Приклад 13. Розв’язати рівняння 

Розв’язання

Заміна , одержимо . Розкладемо ліву частину останнього рівняння на множники  і  повернемось до заміни:

Відповідь: {1; }.

Приклад 14. Розв’язати рівняння 

(Заміна ).

Відповідь: {±1; ±2}.

Приклад 15. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Тут , тому, якщо дане рівняння має раціональні корені, то їх слід шукати серед дільників числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Перевіркою дізнаємось, що  є коренем початкового рівняння. За теоремою Безу початковий многочлен ділиться без остачі на . Поділивши їх, отримаємо многочлен .

Таким чином, . Тоді початкове рівняння набуває вигляду . Це рівняння рівносильне сукупності рівнянь: . Розв’язок першого рівняння  уже знайдений. Друге рівняння сукупності має корені  і .

Приклад 16. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

 , тому раціональні корені рівняння шукаємо серед чисел ±1,  . Перевіряючи ці числа шляхом підстановки у початкове рівняння, знаходимо корінь . Звідси, потрібно поділити початковий многочлен лівої частини рівняння на  або, що те ж саме, але без дробів, на  (тоді ми при діленні уникаємо дробових коефіцієнтів).

Як бачимо, множник  у другому степені, а це означає, що, використовуючи теорему Безу, нам потрібно ділити многочлен на множник  двічі.

Ми задавали дане рівняння з цілими коефіцієнтами, тому вираз  не розклався на множники, оскільки на раціональні множники він не розкладається. Розв’яжемо рівняння  на множині ірраціональних чисел:

Розв’язуючи початкове рівняння, отримаємо:

Відповідь: 

     Слід зазначити, що у випадку, коли ліва частина раціонального рівняння вищого степеня може бути розкладена на множники групуванням або яким-небудь іншим способом, розв’язок рівняння може бути отриманим більш простим шляхом.

Приклад 17. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Розкладемо один із членів даного тричлена на доданки:  або , тепер згрупуємо доданки зручним для нас способом, наприклад:

 або

Отже, , тоді 

Відповідь: {-2; 1}.

Приклад 18. Розв’язати рівняння 

Розв’язання

Поклавши , дістанемо рівняння , звідки знаходимо  Тепер задача звелася до розв’язування сукупності рівнянь  Перше рівняння сукупності має кратний корінь  друге рівняння має корені .

Відповідь: 

Приклад 19. Розв’язати рівняння 

Розв'язання

.,

Поклавши , дістанемо рівняння . Переносимо всі доданки рівняння в одну частину і зводимо до спільного знаменника:

Узявши . Оскільки дискримінант цього рівняння , то воно дійсних коренів не має.

Узявши .

Отже, обидва корені є розв’язком нашого рівняння.

Відповідь: {1; 5}.

У дробово-раціональних рівняннях часто потрібно знаходити область допустимих значень (коротко ОДЗ). Її, як правило, знаходять на початку розв’язання прикладу. У попередньому прикладі натомість знаходження області допустимих значень ми застосували перевірку знайдених коренів.

Приклад 20. Розв’язати рівняння 

Розв'язання

Покладемо . До речі, ОДЗ: . Тоді

 .

Початкове рівняння записується у вигляді 

або  

Узявши 

.

Узявши , дістаємо 

Відповідь: {  3}.

Приклад 21. Розв’язати рівняння .

Розв'язання

     Знайдемо ОДЗ:  та  або .

Розкриємо дужки у знаменниках дробів:  Як бачимо, можна зробити заміну , тоді утворене рівняння буде мати вигляд:  

Тобто,  або . Повертаємось до заміни:  або .

Отже, маємо такі розв’язки: .

Всі отримані числа задовольняють ОДЗ, тому є коренями нашого рівняння.

Приклад 22. Розв’язати рівняння 

Розв'язання

Рівняння виду   розв’язується за допомогою заміни  (с – середнє арифметичне чисел а і b). Для рівняння   робимо заміну  

 початкове рівняння записується у вигляді . Застосовуючи трикутник Паскаля, отримуємо

 

. Розв’язуючи це біквадратне рівняння, дістаємо  .

     Узявши .

Узявши .

Відповідь: .

Приклад 23. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання

Звідси      

 

Відповідь: {-1; }.

Приклад 24. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання

Поділивши початкове рівняння на , , дістаємо

 Згрупувавши доданки, маємо

Поклавши , маємо 

Таким чином, приходимо до рівняння

Повертаючись до заміни, маємо

Відповідь: