Зразки розв'язування задач про прогресію

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до того ж самого постійного для даної послідовності числа. Позначається арифметична прогресія звичайно .  називається n-м членом арифметичної прогресії.

З визначення арифметичної прогресії випливає, що . Число d називається різницею прогресії. Таким чином

 .

Для того, щоб задати арифметичну прогресію , достатньо знати її перший член  і різницю d. Якщо різниця арифметичної прогресії – додатне число, то така прогресія є зростаючою; якщо різниця є від’ємним числом, то спадною. Якщо різниця d арифметичної прогресії дорівнює нулю, то всі члени прогресії рівні між собою.

Характеристичні властивості арифметичної прогресії:

а) кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним сусідніх з ним членів:

, , ;

б) сума членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є величиною сталою, тобто

 ;

Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд:

.

Формула для суми п перших членів арифметичної прогресії має вигляд

.

Геометричною прогресією називається така числова послідовність , кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те ж саме стале для даної послідовності число, відмінне від нуля. Перший член геометричної прогресії передбачається відмінним від нуля.  називається п-им членом геометричної прогресії.

З визначення геометричної прогресії випливає, що . Число 

називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином,

 .

Для того, щоб задати геометричну прогресію , достатньо знати її перший член і знаменник.

Якщо  і , то геометрична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку геометрична прогресія є сталою послідовністю, яка розглядається рідко.

Характеристичні властивості геометричної прогресії формулюються в такий спосіб:

а) у геометричній прогресії, усі члени якої додатні числа, будь-який її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусідніх з ним членів, тобто при 

;

б) добуток членів, рівновіддалених від кінців геометричної прогресії, є величиною сталою, тобто

 .

Формула п-го члена геометричної прогресії має вигляд

.

Формула для суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд .

Нескінченно спадною геометричною прогресією називають таку геометричну прогресію , у якої знаменник  і яка містить нескінченне число доданків. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою .

Приклад 1. Знайти одинадцятий член арифметичної прогресії , якщо її перший член дорівнює , а різниця цієї прогресії рівна 0,7.

Розв’язання

За умовою,  . Для знаходження одинадцятого члена арифметичної прогресії, скористаємось формулою п-го члена арифметич-ної прогресії . Тобто 7=4.

Відповідь: 

Приклад 2. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 3, а сума перших її шести членів дорівнює 57. Знайти перший та шостий члени прогресії.

Розв’язання

За умовою  . Скористаємось формулою для суми п перших членів арифметичної прогресії . Маємо , отже

.

Відповідь: ; .

Приклад 3. Знайти арифметичну прогресію , якщо 

Розв’язання

Розпишемо другий, третій та сьомий члени прогресії через перший її член та різницю. Тобто    Підставивши отримані дані у початкову систему, дістаємо:

З першого рівняння системи  Підставивши це значення в друге рівняння системи, дістаємо  Звідси маємо рівносильну початкову систему  Від першого рівняння системи віднімемо друге рівняння і отримаємо: . Тоді 

Відповідь:  

Приклад 4. Знайти суму всіх додатних парних трицифрових чисел, що діляться на 3 без остачі.

Розв’язання

Додатні парні трицифрові числа: 100, 102, 104, 106, 108, …, 994, 996, 998. З них тих, що діляться на 3: 102, 108, 114, …, 990, 996. Отримана числова послідовність є арифметичною прогресією з різницею  Значить   За формулою п-го члена знаходимо число членів даної прогресії 149

п=150.

Отже, шукану суму знаходимо за формулою . Значить .

Відповідь: .

Приклад 5. Знайти арифметичну прогресію, якщо сума її п перших членів .

Розв’язання

; ;

;

.

Випишемо кілька перших членів даної прогресії: -1; 3; 7; 11; … .

Відповідь:  .

Приклад 6. Перший член геометричної прогресії дорівнює 16, а її знаменник рівний . Знайти сьомий член прогресії.

Розв’язання

За умовою, ; . Для знаходження сьомого члена даної прогресії скористаємося формулою п-го члена геометричної прогресії . Отже, .

Відповідь: .

Приклад 7. Дана геометрична прогресія : -2; 8; -32; 128; … . Знайти .

Розв’язання

Знаходимо спочатку знаменник прогресії: ; .

Відповідь: .

Приклад 8. У геометричній прогресії   . Знайти .

Розв’язання

Знайдемо спочатку знаменник прогресій q. За умовою ; ; ;

.

Відповідь: .

Приклад 9. Знайти суму  

Розв’язання

Маємо   . Шукану суму знаходимо за формулою суми п перших членів геометричної прогресії , тобто .

Відповідь: .

Приклад 10. У геометричній прогресії :  . Знайти .

Розв’язання

Оскільки , , , то складемо таку систему рівнянь: . Поділивши почленно друге рівняння на перше, дістанемо . З першого рівняння системи . Отже, , . За формулою для суми п перших членів знаходимо .

Відповідь: .

Приклад 11. Число членів геометричної прогресії парне, сума всіх членів цієї прогресії в три рази більша від суми її членів, які стоять на непарних місцях. Знайдіть знаменник прогресії.

Розв’язання

Нехай задано геометричну прогресію  …, , яка має парне число членів. Сума цієї прогресії –  в три рази більша від суми членів, які стоять на непарних місцях, тобто в три рази більша від . Отже, ;

.

Запишемо кожний елемент прогресії через  і , тоді

. Винесемо за дужки спільні множники в обох частинах рівності:

  .

Відповідь: 2.

Приклад 12. Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії:

1)     … ;

2)    … .

Розв’язання

1) З умови зрозуміло, що , . Тоді

.

2) З умови зрозуміло, що , . Тоді 

.

Відповідь: 1) ; 2) .

Приклад 13. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії  , а сума квадратів усіх її членів . Знайти п’ятий член прогресії.

Розв’язання

Прогресія, у якої кожним членом є квадрат , тобто   

…,  … має знаменник , який дорівнює квадрату знаменника заданої прогресії , тому що . Звідси маємо систему рівнянь . Поділивши друге рівняння системи на перше, піднесене до квадрата, дістанемо .

З отриманої рівності, маємо .

Тоді ; .

Відповідь: .

Приклад 14. Чотири числа становлять арифметичну прогресію. Якщо від них відняти відповідно 10, 11, 9 і 1, то нові числа становитимуть геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

     Нехай     – члени арифметичної прогресії або     де d – різниця прогресії. За умовою     – члени геометричної прогресії.

     За властивістю геометричної прогресії складено систему рівнянь:

 Віднявши від першого рівняння останньої системи друге рівняння, отримаємо , . Тоді  . Звідси  або .

     Якщо  і , то числа 13, 17, 21 і 25 – члени арифметичної прогресії, а числа 3, 6, 12, 24 – члени геометричної прогресії.

     Якщо  і , то числа 13, 11, 9 і 7 – члени арифметичної прогресії, а числа 3, 0, 0, 6 – не є членами геометричної прогресії.

Відповідь: 13, 17, 21 і 25.

Приклад 15. Розв’язати рівняння , .

Розв’язання

     Підказка. Зверніть увагу, що доданки в рівнянні є членами арифметичної прогресії, тобто ліва частина рівняння – це сума перших 2х - 1 членів прогресії. Відповідь: 5.