Числа Піфагора (Піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c
таких, що c2 = a2 + b2.
Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком (причому с – найбільше число, бо відповідає гіпотенузі). Але не всі розв'язки теореми Піфагора є Піфагоровими числами (тому, що не всі вони є натуральними).
Ці числа зазвичай записують в такому вигляді: (a, b, c). Найвідоміший приклад: (3, 4, 5).
Якщо (a, b, c) – числа Піфагора, тоді (ka, kb, kc) – також числа Піфагора (для будь-якого цілого додатного k).
Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості числа a, b i c.
Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок (знайдіть їх).
За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для всіх чисел Піфагора існують такі цілі числа m i n (m > n), для яких виконуються рівності:
Наприклад, для трійки (3;4;5) m = 2, n = 1:
3 = 22 - 12
4 = 2 ∙ 2 ∙ 1
5 = 22 + 12
Для трійки (5;12;13) m = 3, n = 2:
5 = 32 - 22 = 9 - 4
12 = 2 ∙ 3 ∙ 2
13 = 32 + 22 = 9+4
Для трійки (7;24;25) m = 4, n = 3:
7 = 42 - 32 = 16 - 9
24 = 2 ∙ 4 ∙ 3
25 = 42 + 32 = 16 + 9
Отже, щоб знайти Піфагорову трійку, достатньо обрати будь-які два сусідні натуральні числа і виконати потрібні обчислення. Нехай m = 8, n = 7, тоді
a = 82 - 72 = 64 – 49 = 15
b = 2 ∙ 8 ∙ 7 = 112
c = 82 + 72 = 64 + 49 = 113
Перевіримо:
1132 = 1122 + 152
12769 = 12544 + 225
Все правильно, отже (15;112;113) – Піфагорова трійка!
До речі, одне з трьох чисел завжди парне (бо b = 2 ∙ m ∙ n ), а два інші – непарні.
таких, що c2 = a2 + b2.
Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком (причому с – найбільше число, бо відповідає гіпотенузі). Але не всі розв'язки теореми Піфагора є Піфагоровими числами (тому, що не всі вони є натуральними).
Ці числа зазвичай записують в такому вигляді: (a, b, c). Найвідоміший приклад: (3, 4, 5).
Якщо (a, b, c) – числа Піфагора, тоді (ka, kb, kc) – також числа Піфагора (для будь-якого цілого додатного k).
Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості числа a, b i c.
Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок (знайдіть їх).
За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для всіх чисел Піфагора існують такі цілі числа m i n (m > n), для яких виконуються рівності:
Наприклад, для трійки (3;4;5) m = 2, n = 1:
3 = 22 - 12
4 = 2 ∙ 2 ∙ 1
5 = 22 + 12
Для трійки (5;12;13) m = 3, n = 2:
5 = 32 - 22 = 9 - 4
12 = 2 ∙ 3 ∙ 2
13 = 32 + 22 = 9+4
Для трійки (7;24;25) m = 4, n = 3:
7 = 42 - 32 = 16 - 9
24 = 2 ∙ 4 ∙ 3
25 = 42 + 32 = 16 + 9
Отже, щоб знайти Піфагорову трійку, достатньо обрати будь-які два сусідні натуральні числа і виконати потрібні обчислення. Нехай m = 8, n = 7, тоді
a = 82 - 72 = 64 – 49 = 15
b = 2 ∙ 8 ∙ 7 = 112
c = 82 + 72 = 64 + 49 = 113
Перевіримо:
1132 = 1122 + 152
12769 = 12544 + 225
Все правильно, отже (15;112;113) – Піфагорова трійка!
До речі, одне з трьох чисел завжди парне (бо b = 2 ∙ m ∙ n ), а два інші – непарні.